nhỏ|346x346px| Hạt nhân và ảnh của ánh xạ Trong toán học, hạt nhân (kernel) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là hạch hay không gian vô hiệu (null space), là không gian vectơ con của nguồn được ánh xạ tới vectơ không. Tức là, cho một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và , hạt nhân của được định nghĩa là không gian vectơ con gồm các phần tử trong sao cho , trong đó là vectơ không trong , hay dưới dạng ký hiệu:

: $\backslash ker(L)\; =\; \backslash left\{\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash in\; V\; \backslash mid\; L(\backslash mathbf\{v\})=\backslash mathbf\{0\}\; \backslash right\}\; .$

Các tính chất

Hạt nhân của $L$ là không gian con của tập nguồn$V$ .

Nếu là một không gian tích trong, không gian thương có thể được xác định là phần bù trực giao của trong . Đây là sự tổng quát hóa cho toán tử tuyến tính của không gian hàng, hay đối ảnh của một ma trận.

Áp dụng với mô đun

Khái niệm hạt nhân cũng có thể áp dụng được đối với các đồng cấu mô đun, là các tổng quát hóa của không gian vectơ khi các vô hướng là phần tử của một vành, thay vì là một trường. Tập nguồn của ánh xạ là một mô đun, và hạt nhân tạo nên một mô đun con. Ở đây, khái niệm về hạng và số vô hiệu không nhất thiết áp dụng được.

Trong giải tích hàm

Nếu V và W là các không gian vectơ tô pô sao cho W hữu hạn chiều thì một toán tử tuyến tính L: V → W là liên tục khi và chỉ khi hạt nhân của L là một không gian con đóng của V.

Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận

Xét một biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi một ma trận A cỡ m × n với các hệ số trên một trường K (thường là $\backslash mathbb\{R\}$ hoặc $\backslash mathbb\{C\}$), tức là tác động lên các vectơ cột x với n thành phần trên K. Hạt nhân của ánh xạ này là tập hợp các nghiệm của phương trình , với 0 được hiểu là vectơ không. Số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Dạng thức hóa như sau:

: $\backslash operatorname\{N\}(A)=\backslash operatorname\{Null\}(A)=\backslash operatorname\{ker\}(A)\; =\; \backslash left\{\; \backslash mathbf\{x\}\backslash in\; K^n\; |\; A\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\; \backslash right\}.$

Phương trình ma trận trên là tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

: $A\backslash mathbf\{x\}=\backslash mathbf\{0\}\; \backslash ;\backslash ;\backslash Leftrightarrow\backslash ;\backslash ;\; \backslash begin\{alignat\}\{7\}\; a\_\{11\}\; x$1 &&\; + \;&& a{12} x2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a{1n} xn &&\; = \;&&& 0 \ a{21} x1 &&\; + \;&& a{22} x2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a{2n} xn &&\; = \;&&& 0 \ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \ a{m1} x1 &&\; + \;&& a{m2} x2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a{mn} x_n &&\; = \;&&& 0\text{.} \ \end{alignat}

Vì thế hạt nhân của A là chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên.

Các tính chất của không gian con

Hạt nhân của một ma trận A cỡ trên một trường K là không gian con của Kⁿ. Tức là, hạt nhân của A hay tập Null(A) có ba tính chất sau:

Null(A) luôn chứa vectơ không, vì .

Nếu và , thì . Điều này là do tính phân phối của phép nhân ma trận đối với phép cộng.

Nếu và c là một vô hướng , thì vì .

Không gian hàng của một ma trận

Tích _A_x có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:

: $A\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; \backslash mathbf\{a\}\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash \; \backslash mathbf\{a\}\_2\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \; \backslash mathbf\{a\}\_m\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash end\{bmatrix\}.$

Ở đây a₁,..., a_m chỉ các hàng của ma trận A. Suy ra rằng x thuộc hạt nhân của A khi và chỉ khi x trực giao (hay vuông góc) với từng vectơ hàng của A (vì trực giao được định nghĩa là có tích vô hướng bằng 0).

Không gian hàng, hay đối ảnh của ma trận A là span của các vectơ hàng của A. Bằng lập luận như trên, hạt nhân của A là phần bù trực giao của không gian hàng. Tức là, một vectơ x thuộc hạt nhân của A, khi và chỉ khi nó vuông góc với từng vectơ trong không gian hàng của A.

Số chiều của không gian hàng của A được gọi là hạng của A, còn số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Các đại lượng này được liên hệ bởi định lý hạng và số vô hiệu

: $\backslash operatorname\{rank\}(A)\; +\; \backslash operatorname\{nullity\}(A)\; =\; n.$

Phép khử Gauss không hoạt động chính xác đối với dấu phẩy động, ngay cả với ma trận hạng đầy đủ và đã được điều kiện; vì nó gây ra các lỗi làm tròn quá lớn để có một kết quả có nghĩa. Bởi vì tính toán hạt nhân của ma trận là một trường hợp đặc biệt của giải hệ tuyến tính thuần nhất, ta có thể sử dụng các thuật toán thay thế được thiết kế chuyên biệt để giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Một phần mềm hiện đại cho mục đích này là thư viện Lapack.