✨Số Lebesgue

Trong tô pô, bổ đề số Lebesgue là công cụ hữu dụng trong không gian mêtric compact. Bổ đề nói rằng:

Cho $A$ là phủ mở của không gian mêtric $(X,d)$. Nếu $X$ là compact, thì có $\backslash varepsilon\; >0$ sao cho với mỗi quả cầu bán kính $\backslash varepsilon$ thì chứa trong một thành phần của $A$.

Chứng minh

Với mỗi $x\backslash in\; X$ có một tập mở $U\_x\; \backslash in\; A$ chứa $x$. Có một số $\backslash varepsilon\_x\; >0$ sao cho quả cầu $B(x,2\backslash varepsilon\_x)$ chứa trong $U\_x$. Họ :$\backslash left\{B(x,\backslash varepsilon\_x)|x\backslash in\; X\backslash right\}$ là phủ mở của $X$, nên có phủ con hữu hạn :$\backslash left\{B(x\_i,\backslash varepsilon\_i)|1\backslash leq\; i\backslash leq\; n\backslash right\}$. Đặt :$\backslash varepsilon=\backslash min\; \backslash left\{\backslash varepsilon\_i\; |1\backslash leq\; i\backslash leq\; n\backslash right\}$.

Giả sử rằng $y\backslash in\; B(x,\backslash varepsilon)$. Khi đó có $i\_0,1\backslash leq\; i$0\leq n, sao cho $x\backslash in\; B(x${i0},\varepsilon{i0}). Ta có :$d(y,x${i0})\leq d(y,x)+d(x,x{i0}) < \varepsilon+\varepsilon{i0} \leq 2\varepsilon{i0}. Điều này dẫn đến $y$ nằm trong thành phần $U${x{i0 của $A$, và $B(x,\backslash varepsilon)$ chứa trong $U${x_{i_0.