✨Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, chuỗi hay tích phân trong không gian Hilbert nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với Augustin-Louis Cauchy vào năm 1821, phiên bản tích phân là của Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Schwarz lần lượt vào năm 1859 và 1888,

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \mathbf{u} và \mathbf{v} là phụ thuộc tuyến tính.

Một số phát biểu nổi tiếng và đặc biệt của bất đẳng thức này có thể kể đến như dưới đây

Bổ đề Sedrakyan

Bất đẳng thức Sedrakyan, hay bất đẳng thức Engel, bổ đề Titu phát biểu rằng với bộ số thực u_1, u_2, \dots, u_n và bộ số dương v_1, v_2, \dots, v_n, ta có

\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{ hay tương đương, } \quad \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n} \leq \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} .

Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp bằng việc sử dụng tích vô hướng chính tắc và sử dụng hai dãy phụ là u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i và v_i' = \sqrt{v_i}.

Không gian Euclid n-chiều

thumb|Một minh họa cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong đường tròn đơn vị. Trong không gian Euclid \R^n với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành

\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).

Trong mặt phẳng \R^2, ta có hai dạng dễ gặp hơn là

\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = (\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2, và \left(u_1 v_1 + u_2 v_2\right)^2 \leq \left(u_1^2 + u_2^2\right) \left(v_1^2 + v_2^2\right),

Không gian phức n-chiều

Nếu \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Complex^n, ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v1} + \cdots + u{n} \overline{v_n},, bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là

|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 = \left|\sum_{k=1}^n u_k\bar{v}_k\right|^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \left(\sum_{k=1}^n u_k \bar{u}_k\right) \left(\sum_{k=1}^n v_k \bar{v}_k\right) = \sum_{j=1}^n \left|u_j\right|^2 \sum_{k=1}^n \left|v_k\right|^2. hay viết dưới dạng tường minh là \left|u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n\right|^2 \leq \left(\left|u_1\right|^2 + \cdots + \left|u_n\right|^2\right) \left(\left|v_1\right|^2 + \cdots + \left|v_n\right|^2\right).

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử \lambda là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

: 0 \leq \left| x-\lambda y \right|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \bar{\lambda} \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.

Chọn : \lambda = \langle y,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1} chúng ta được

: 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

: |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

hay tương đương:

: \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \left|x\right| \left|y\right|. (điều phải chứng minh)

Một vài ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

:

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

👁️ 55 | ⌚2025-09-16 22:26:31.899
QC Shopee
Nguyễn Kim Nguyễn Kim
ATADI _ Đặt vé máy bay trực tuyến giá rẻ ATADI _ Đặt vé máy bay trực tuyến giá rẻ
GOTADI – Vé máy bay giá rẻ, uy tín GOTADI – Vé máy bay giá rẻ, uy tín
Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz
Trong đại số và giải tích, **bất đẳng thức Cauchy-Schwarz** (cũng gọi là **bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz**) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
nhỏ|phải|[[Chứng minh toán học#Chứng minh bằng hình ảnh|Chứng minh không cần lời của bất đẳng thức AM-GM.]] thumb|[[Chứng minh toán học#Chứng minh trực tiếp|Chứng minh trực quan cho thấy . Lấy căn bậc hai và
Bất đẳng thức Bất đẳng thức
phải|[[Miền giá trị (_feasible region_) của một bài toán quy hoạch tuyến tính được xác định bởi một tập các bất đẳng thức]] Trong toán học, một **bất đẳng thức** (tiếng Anh: Inequality) là một
Bất đẳng thức Hölder Bất đẳng thức Hölder
Trong giải tích toán học, **bất đẳng thức Hölder**, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L_p_: giả sử _S_
Bất đẳng thức Nesbitt Bất đẳng thức Nesbitt
Trong toán học, **bất đẳng thức Nesbitt** (tiếng Anh: Nesbitt's inequality) là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi số phần tử là 3. Nó được phát biểu như sau: Cho
Sách - Sử Dụng Phương Pháp Cauchy - Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức - Tái Bản 5 - Hồng Ân Sách - Sử Dụng Phương Pháp Cauchy - Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức - Tái Bản 5 - Hồng Ân
Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng giải toán dựa trên phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cuốn sách này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước
Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Cauchy Schwarz 3 Cuốn - HA Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Cauchy Schwarz 3 Cuốn - HA
Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức Bộ 3 Cuốn Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức Bộ 3 Cuốnlà bộhệ thống tương đối toàn diện và rõ ràng các kĩ năng liên
Sử dụng PP Cauchy-Schwarz để chứng minh Bất đẳng thức (Dùng chung các bộ SGK) Sử dụng PP Cauchy-Schwarz để chứng minh Bất đẳng thức (Dùng chung các bộ SGK)
Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng giải toán dựa trên phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cuốn sách này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước
Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp AM - GM + Cauchy Schwarz (3 Cuốn) - HA Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp AM - GM + Cauchy Schwarz (3 Cuốn) - HA
Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức (Bộ 3 Cuốn)  Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức (Bộ 3 Cuốn) là bộ  hệ thống tương đối toàn diện và rõ ràng các kĩ năng liên
Sách - Một số chuyên đề Bất đẳng thức(Dành cho học sinh Trung học cơ sở) Sách - Một số chuyên đề Bất đẳng thức(Dành cho học sinh Trung học cơ sở)
Nội dung gồm có:   Chương 1. Ba phương pháp cơ bản để chứng minh bất đẳng thức Chương 2. Bất đẳng thức AM - GM Chương 3. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Chương
Combo Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Vẻ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các Kì Thi Olympic Toán Học _HA Combo Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Vẻ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các Kì Thi Olympic Toán Học _HA
Combo Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Vẻ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các
Sách - Sử Dụng Phương Pháp Cauchy - Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Sách - Sử Dụng Phương Pháp Cauchy - Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức
Mô Tả Sản Phẩm Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cuốn sách ''Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức'' bao gồm hệ thống tương
Sách - Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp AM - GM + Cauchy Schwarz (3 Cuốn) Sách - Combo Phân Loại Và Phương Pháp Giải Toán Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp AM - GM + Cauchy Schwarz (3 Cuốn)
Sách - Combo Chinh Phục Bài Toán Bất Đẳng Thức (Bộ 3 Cuốn)   1. Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Cuốn sách hệ thống tương đối toàn diện
Sử Dụng Phương Pháp Cauchy-Schwar Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức (Tái Bản) Sử Dụng Phương Pháp Cauchy-Schwar Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức (Tái Bản)
Sử Dụng Phương Pháp Cauchy-Schwar Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức là cuốn sách hệ thống tương đối toàn diện và rõ ràng
Sách - Phương pháp sơ cấp Chứng minh bất đẳng thức - Tập 1 (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên) Sách - Phương pháp sơ cấp Chứng minh bất đẳng thức - Tập 1 (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên)
Sách - Phương pháp sơ cấp Chứng minh bất đẳng thức - Tập 1 (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên) Tác giả Nhiều tác giả Nhà xuất bản NXB Đại Học Quốc Gia Hà
Sách - Một số Chuyên đề Bất đẳng thức - Dành cho Học sinh Trung học cơ sở #huongbook Sách - Một số Chuyên đề Bất đẳng thức - Dành cho Học sinh Trung học cơ sở #huongbook
MÔ TẢ SẢN PHẨM Sách - Một số Chuyên đề Bất đẳng thức - Dành cho Học sinh Trung học cơ sở Tác giả: NGUYỄN TIẾN LÂM - ĐỖ XUÂN TRỌNG Nhà xuất bản: NXB
Một số chuyên đề bất đẳng thức - Dành cho học sinh Trung học cơ sở Một số chuyên đề bất đẳng thức - Dành cho học sinh Trung học cơ sở
   Cuốn sách phù hợp với học sinh Trung học cơ sở, đặc biệt với những học sinh yêu thích với Bất đẳng thức. Cuốn sách chứa một lượng lớn ví dụ và bài tậ
Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề
Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề   Mỗi bài toán có một vai trò riêng của nó. Có bài được đề ra để kiểm tra khả năng tư duy, suy luận,
Sách Tham Khảo- Combo Sử Dụng Phương Pháp AM-GM +Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz+Vẻ Đẹp Của Bất Đẳng Thức(3 Cuốn)- HA Sách Tham Khảo- Combo Sử Dụng Phương Pháp AM-GM +Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz+Vẻ Đẹp Của Bất Đẳng Thức(3 Cuốn)- HA
Combo Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Sử Dụng Phương Pháp Cauchy Schwarz Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức + Vẻ Đẹp Bất Đẳng Thức Trong Các
Sách - Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức - Hồng Ân Sách - Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức - Hồng Ân
Sách - Sử Dụng Phương Pháp AM - GM Để Chứng Minh Bất Đẳng Thức Người lớn thường quan niệm: “Lớp trẻ bây giờ suy nghĩ không chín chắn”. Còn thế hệ trẻ thì lại
SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức
SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức Người lớn thường quan niệm: “Lớp trẻ bây giờ suy nghĩ không chín chắn”. Còn thế hệ trẻ thì lại
Combo Toán Lớp 12: Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề + Tích Phân - Số Phức - Ứng Dụng Combo Toán Lớp 12: Bất Đẳng Thức Dưới Góc Nhìn Của Các Bổ Đề + Tích Phân - Số Phức - Ứng Dụng
THÔNG TIN SẢN PHẨM: Bất Đẳng Thức - Dưới góc nhìn của các bổ đề Công ty xuất bản: Tinh Hoa Books Số trang: 345     NỘI DUNG:   Mỗi bài toán có một
Sách - Combo 6c Phương Pháp Sơ Cấp Sách - Combo 6c Phương Pháp Sơ Cấp
Bộ sách Phương pháp sơ cấp Chứng minh Bất đẳng thức Tập 1 + Tập 2 Tác giả TS. PHẠM VĂN QUỐC - NGƯT.ThS. PHẠM VĂN HÙNG - NGND.PGS.TS. NGUYỄN VŨ LƯƠNG Nhà xuất bản
SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức
Công ty Học Liệu Sư Phạm giới thiệu: SÁCH - sử dụng phương pháp am - gm để chứng minh bất đẳng thức Người lớn thường quan niệm: “Lớp trẻ bây giờ suy nghĩ không
Định lý giá trị trung bình Định lý giá trị trung bình
thumb|300 px|right|Với mọi hàm số liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b), tồn tại một điểm c \in (a,b) sao cho đường thẳng nối hai điểm (a,f(a)) và (b,f(b)) song song với tiếp
Combo: Bộ sách Phương pháp sơ cấp giải bài toán Trung hoc phổ thông chuyên Combo: Bộ sách Phương pháp sơ cấp giải bài toán Trung hoc phổ thông chuyên
Combo: Bộ sách Phương pháp sơ cấp giải bài toán Trung hoc phổ thông chuyên Tác giả TS. PHẠM VĂN QUỐC - NGƯT.ThS. PHẠM VĂN HÙNG - NGND.PGS.TS. NGUYỄN VŨ LƯƠNG Nhà xuất bản NXB
Phương trình bậc ba với các hệ thức hình học và lượng giác trong tam giác Phương trình bậc ba với các hệ thức hình học và lượng giác trong tam giác
Nội dung cơ bản của cuốn sách Phương trình bậc ba với các hệ thức hình học và lượng giác trong tam giác dựa trên kết quả: Các yếu tố của tam giác (ba cạnh,
Danh sách chủ đề toán học Danh sách chủ đề toán học
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1 Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1
Nội dung sách gồm có: 1. AM - GM và Cauchy - Schwarz 2. Đa thức với phương trình hàm 3. Dãy số và giới hạn với bài toán hàm số 4. Đa thức với
Viktor Yakovlevich Bunyakovsky Viktor Yakovlevich Bunyakovsky
**Viktor Yakovlevich Bunyakovsky** (; , Bar, Đế quốc Nga (nay thuộc Ukraina) – , St. Petersburg) là một nhà toán học người Ukraina, là một thành viên và sau này là chủ tịch Viện Hàn
Combo Trọn Bộ 6 cuốn Sách Phương pháp sơ cấp Giải các bài toán - (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên) Combo Trọn Bộ 6 cuốn Sách Phương pháp sơ cấp Giải các bài toán - (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên)
Combo Trọn Bộ 6 cuốn Sách Phương pháp sơ cấp Giải các bài toán - (Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên) Bộ sách gồm 6 cuốn: Phương pháp sơ cấp – Giải các bài
Phép chiếu (đại số tuyến tính) Phép chiếu (đại số tuyến tính)
phải|khung|Phép biến đổi _P_ là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng _m_. Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, **phép chiếu** là một biến đổi tuyến tính P từ một không gian
Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1 - Đại số Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1 - Đại số
Nội dung sách   1. AM - GM và Cauchy - Schwarz 2. Đa thức với phương trình hàm 3. Dậy số và giới hạn với bài toán hàm số 4. Đa thức với các
Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1 Sách - Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1
Công ty Học Liệu Sư Phạm giới thiệu: Nội dung sách gồm có: 1. AM - GM và Cauchy - Schwarz 2. Đa thức với phương trình hàm 3. Dãy số và giới hạn với
Combo Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán (Đại số - Hình học - Số học - Tổ hợp) Combo Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán (Đại số - Hình học - Số học - Tổ hợp)
1.Định hướng bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán tập 1 – Đại số: Tác giả: Lê Anh Vinh, Nguyễn Huy Tùng, Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Văn Quý, Lê Phúc Lữ, Võ Quốc Bá Cẩn,
Giá trị riêng và vectơ riêng Giá trị riêng và vectơ riêng
phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một
Sách - Sử dụng phương pháp Cauchy - Schwarz để chứng minh Bất Đẳng Thức Sách - Sử dụng phương pháp Cauchy - Schwarz để chứng minh Bất Đẳng Thức
Công ty Học Liệu Sư Phạm giới thiệu: Nội dung gồm có Chương 1: Những nét chung Chương 2: Một số kĩ thuật thường sử dụng Chương 3: Các bài toán tổng hợp Nhà xuất