✨Đường tròn đơn vị

Vòng tròn đơn vị với một số góc đặc biệt.

Trong toán học, đường tròn đơn vị hay vòng tròn đơn vị là đường tròn với bán kính là 1 đơn vị. Thông thường, đặc biệt là trong lượng giác, vòng tròn đơn vị là hình tròn có bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ (0,0) trong không gian 2 chiều. Nó thường được ký hiệu là S¹.

Phương trình định nghĩa đường tròn đơn vị

Có nhiều cách định nghĩa đường tròn đơn vị.

Trên mặt phẳng R², đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng một trong những phương trình sau: : $x^2\; +\; y^2\; =\; 1\; \backslash ;$ :$|\backslash mathbf\{r\}|\; =\; 1\; \backslash ;$ : $\backslash begin\{cases\}\; x\; =\; cos(\backslash theta)\; \backslash \; y\; =\; sin(\backslash theta)\; \backslash end\{cases\}$
V.v...

Trên mặt phẳng phức C, đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng phương trình: :$|z|\; =\; 1\; \backslash ,$

Dĩa đơn vị

Dĩa đơn vị là phần mặt phẳng bên trong (tức là bên có chứa gốc tọa độ) đường tròn đơn vị. Nói cách khác, trên mặt phẳng thực:

: $x^2\; +\; y^2\; \backslash leq\; 1\; \backslash ;$

:$|\backslash mathbf\{r\}|\; \backslash leq\; 1\; \backslash ;$

: $\backslash begin\{cases\}\; |x|\; \backslash leq\; |cos(\backslash theta)|\; \backslash \; |y|\; \backslash leq\; |sin(\backslash theta)|\; \backslash end\{cases\}$

V.v.

Trên mặt phẳng phức C:

:$|z|\; \backslash leq\; 1\; \backslash ,$

Đường tròn đơn vị trong lượng giác

phải|nhỏ|Tất cả các hàm lượng giác đều có thể tính được từ đường tròn đơn vị có tâm tại O.

Đường tròn đơn vị có vị trí đặc biệt trong lượng giác vì từ đó có thể tính được tất cả các hàm lượng giác.

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị, $\backslash theta$ là góc giữa trục $x$ và đường OA (trong hình) thì:

:$cos(\backslash theta)\; \backslash ,$ = giá trị điểm A chiếu xuống trục $x\; \backslash ,$, là đoạn OC trong hình. :$sin(\backslash theta)\; \backslash ,$ = giá trị điểm A chiếu xuống trục $y\; \backslash ,$, là đoạn AC trong hình. :$tan(\backslash theta)\; \backslash ,$ = chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục $x\; \backslash ,$, là đoạn AE trong hình. :$cot(\backslash theta)\; \backslash ,$ = chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục $y\; \backslash ,$, là đoạn AF trong hình. :$sec(\backslash theta)\; \backslash ,$ (secant) = chiều dài từ tâm theo trục $x\; \backslash ,$ tới đường tan, là đoạn OE trong hình. :$csc(\backslash theta)\; \backslash ,$ (cosecant) = chiều dài từ tâm theo trục $y\; \backslash ,$ tới đường cotan, là đoạn OF trong hình.

Có hai hàm lượng giác ít dùng nhưng rất dễ thấy trong đường tròn đơn vị, là $\backslash textrm\{versin\}\; \backslash ,$ và $\backslash textrm\{coversin\}\; \backslash ,$.

Hàm $\backslash textrm\{versin\}\; \backslash ,$ tức versed sine là đoạn còn lại trên trục $x\; \backslash ,$ từ sau điểm $cos(\backslash theta)\; \backslash ,$ tới hết đường bán kính.

Còn hàm $\backslash textrm\{coversin\}\; \backslash ,$ tức coversed sine hay coversin tương đương như vậy, trên trục $y\; \backslash ,$: Đoạn còn lại trên trục $y\; \backslash ,$ từ sau điểm $sin(\backslash theta)\; \backslash ,$ tới hết đường bán kính.

Hai hàm này có phần hữu dụng như sau:

:$\backslash textrm\{versin\}(\backslash theta)\; =\; 1\; -\; \backslash cos\; (\backslash theta)\; =\; 2\; \backslash sin^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash theta\}\; \{2\}\backslash right)\; \backslash ,$ :$\backslash textrm\{coversin\}(\backslash theta)\; =\; 1\; -\; \backslash sin(\backslash theta)\; =\; \backslash textrm\{versin\}(\backslash pi/2\; -\; \backslash theta)\; \backslash ,$

Đường cycloid

lớn|trái|Lăn đường tròn, một điểm trên đường tròn sẽ vẽ thành đường cycloid (màu đỏ)

Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục $x\; \backslash ,$. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục $x\; \backslash ,$, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.

Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường gọi tên là curtate cycloid.

Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có đường kính $d\; \backslash ,$ thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài $4d\; \backslash ,$.