✨Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan , đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là

:$G\; =\; \backslash beta(2)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n\{(2n+1)^2\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{7^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9^2\}\; -\; \backslash cdots$

trong đó là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng

:

Hiện vẫn chưa biết liệu là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó.

Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn :$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n\{(2n+1)^3\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^3\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^3\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{7^3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9^3\}\; -\; \backslash cdots$

có thể được tính bằng chính xác

Đẳng thức tích phân

Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

:0^\frac{\pi}{4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt \[3pt] G &= \tfrac14 \int{-\frac{\pi}{2^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt \[3pt] G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt \[3pt] G &= -\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \tan t \,dt \[3pt] G &= \tfrac12 \int_0^\frac{\pi}{2} \ln (\sec t +\tan t) \,dt \[3pt] G &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2 \,dt \[3pt] G &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arsinh} t}{\sqrt{1-t^2 \,dt \[3pt] G &= \int_0^\infty \arctan e^{-t} \,dt \[3pt] G &= \tfrac12 \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt \[3pt] G &= \frac{\pi}{2} \int1^\infty \frac{(t^4-6t^2+1)\ln\ln t}{(1+t^2)^3} \,dt \[3pt] G &= 1 + \lim{\alpha\to{1^-!\left{\int_0^{\alpha}!\frac{(1+6t^2+t^4)\arctan{t{t(1-t^2)^2}\, dt

• 2\operatorname{arctanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right} \[3pt] G &= 1 - \frac18 \iint_{\mathbb{R}^2}!!\frac{x\sin(2xy/\pi)}{\,(x^2+\pi^2)\cosh x\sinh y\,} \,dxdy \end{align}

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten.

Nếu là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với là môđun elliptic, thì :$G\; =\; \backslash tfrac12\; \backslash int\_0^1\; \backslash mathrm\{K\}(k)\backslash ,dk.$

Với hàm gamma :

Tích phân :$G\; =\; \backslash operatorname\{Ti\}\_2(1)=\backslash int\_0^1\; \backslash frac\{\backslash arctan\; t\}\{t\}\backslash ,dt$

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.

Ứng dụng

Hằng số xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma):

:

Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma, và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị.

Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng.

Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic.

Liên hệ với những hàm số khác

Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, hàm Barnes, cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này.

Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen):

:$G=4\backslash pi\; \backslash log\backslash left(\backslash frac\{\; G\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash right)\; G\backslash left(\backslash frac\{7\}\{8\}\backslash right)\; \}\{\; G\backslash left(\backslash frac\{1\}\{8\}\backslash right)\; G\backslash left(\backslash frac\{5\}\{8\}\backslash right)\; \}\; \backslash right)\; +4\; \backslash pi\; \backslash log\; \backslash left(\backslash frac\{\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash right)\; \}\{\; \backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{1\}\{8\}\backslash right)\; \}\; \backslash right)\; +\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash log\; \backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{2\}\; \}\{2\; \backslash left(2-\backslash sqrt\{2\}\backslash right)\}\; \backslash right)$.

Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch (liên quan đến hàm zeta Lerch) là

:$\backslash Phi(z,\; s,\; \backslash alpha)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{\; z^n\}\; \{(n+\backslash alpha)^s\},$

thì

:$G\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}\backslash Phi\backslash left(-1,\; 2,\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right).$

Chuỗi hội tụ nhanh

Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này: : {n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n \left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \ & \qquad -2 \sum{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n \left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right) \end{align}

và

:$G\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{8\}\backslash log\backslash left(2\; +\; \backslash sqrt\{3\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{3\}\{8\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{(2n+1)^2\; \backslash binom\{2n\}\{n.$

Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai. Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba.

Chữ số đã biết

Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán.

Xem thê

• Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann
• Hằng số toán học