✨Lưới (nhóm)

phải|nhỏ|250x250px| Một lưới trong [[Mặt phẳng (toán học)|mặt phẳng Euclid.]]

Trong hình học và lý thuyết nhóm, một lưới trong $\backslash mathbb\{R\}^n$ là một tập hợp gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính nguyên của một số hữu hạn các véc-tơ độc lập tuyến tính cho trước. Thông thường, người ta yêu cầu một lưới phải đầy đủ số chiều, tức là các véc-tơ độc lập tuyến tính trên tạo thành một cơ sở của $\backslash mathbb\{R\}^n$.

Ví dụ

Một ví dụ đơn giản về lưới trong $\backslash mathbb\{R\}^n$ là nhóm con $\backslash mathbb\{Z\}^n$.

Đối thể tích

Một lưới $\backslash Lambda$ trong $\backslash mathbb\{R\}^n$ có dạng

: $\backslash Lambda\; =\; \backslash left\{\backslash left.\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i\; v\_i\; \backslash ;\; \backslash right\backslash vert\; \backslash ;\; a\_i\; \backslash in\backslash mathbb\{Z\}\; \backslash right\}$

trong đó {v₁,..., v_n } là một cơ sở của $\backslash mathbb\{R\}^n$. Ta có thể chọn nhiều cơ sở khác nhau, nhưng trị tuyệt đối của định thức của các véc-tơ v_i được xác định duy nhất bởi lưới và được ký hiệu là d(Λ). Coi như lưới $\backslash Lambda$ chia $\backslash mathbb\{R\}^n$ thành các khối đa diện bằng nhau (các bản sao của một hình bình hành n chiều, được gọi là miền cơ bản của lưới), thế thì d(Λ) bằng với thể tích n chiều của khối đa diện này. d(Λ) được gọi là đối thể tích của lưới trên. Nếu giá trị này bằng 1, lưới được gọi là đơn mo-đu-la.

Liên hệ với cấu trúc tinh thể

Một mạng tinh thể là một lưới trong không gian ba chiều. Một ô đơn vị là một cách chọn các véc-tơ cơ sở, và hệ tinh thể của mạng là nhóm đối xứng của lưới này.