✨Hàm đếm số nguyên tố

Hàm đếm số nguyên tố

Trong toán học, hàm đếm số nguyên tố là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực x. Nó được ký hiệu là (x) (không liên quan đến số ). phải|nhỏ|400x400px| Các giá trị của (n) cho 60 số nguyên dương đầu tiên

Lịch sử

Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố. Nó được Gauss và Legendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với

: \frac x {\ln(x)}

theo nghĩa

: \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1.

Phát biểu này là nội dung của định lý số nguyên tố. Một tuyên bố tương đương là

: \lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1!

Trong đó li là hàm tích phân logarit. Định lý số nguyên tố được Jacques Hadamard và Charles de la Vallée Poussin chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 một cách độc lập, sử dụng các thuộc tính của hàm Riemann zeta do Riemann giới thiệu vào năm 1859. Cách chứng minh định lý số nguyên tố không sử dụng hàm zeta hoặc giải tích phứ đã được Atle Selberg và Paul Erdős tìm ra vào khoảng năm 1948 (hầu hết các phần này đều được họ tìm ra hoàn toàn độc lập với nhau).

Ước tính chính xác hơn về \pi(x)! bây giờ đã được biết đến; ví dụ

: \pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\bigl(xe^{-\sqrt{\ln x}/15}\bigr)!

trong đó O là ký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của x chúng ta quan tâm đến (tức là khi x không lớn quá mức), giá trị \operatorname{li}(x)! luôn lớn hơn \pi(x)!. Tuy nhiên, hiệu \pi(x) - \operatorname{li}(x) được biết là thay đổi dấu vô hạn lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.

Dạng chính xác

Bernhard Riemann đã chứng minh rằng hàm đếm số nguyên tố chính xác là

: \pi(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho)

trong đó

: \operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),

là hàm Mobius, là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là . Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó có thể được viết thành

: \pi(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\ln{x + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\ln{x} .

Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì

Bảng của (x), x / ln x và li (x)

Bảng này cho thấy ba hàm số (x), x / ln x và li(x) so sánh ở các giá trị mũ của 10. Xem thêm, và
nhỏ|300x300px| Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố (x) với hai giá trị gần đúng của nó, x / ln x và Li (x). Khi x tăng (lưu ý trục x là logarit), cả hai tỷ lệ đều dẫn về 1. Tỷ lệ của x/ln x (phía trên) hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ của Li(x) (phía dưới) hội tụ nhanh hơn.

:

👁️ 63 | ⌚2025-09-16 22:45:49.557
QC Shopee
Hàm đếm số nguyên tố Hàm đếm số nguyên tố
Trong toán học, **hàm đếm số nguyên tố** là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực _x._ Nó được ký hiệu là (_x_) (không liên
Hàm đếm số nguyên tố Hàm đếm số nguyên tố
Trong toán học, **hàm đếm số nguyên tố** là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực _x._ Nó được ký hiệu là (_x_) (không liên
Số nguyên tố Số nguyên tố
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
Số nguyên tố Số nguyên tố
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
Khoảng cách số nguyên tố Khoảng cách số nguyên tố
thumb| [[Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.]] **Khoảng cách số nguyên tố** là khoảng cách
Khoảng cách số nguyên tố Khoảng cách số nguyên tố
thumb| [[Phân phối tần suất khoảng cách số nguyên tố cho các số nguyên tố lên tới 1.6 tỷ. Các cực đại đều là bội của 6.]] **Khoảng cách số nguyên tố** là khoảng cách
Giai thừa nguyên tố Giai thừa nguyên tố
Với _n_ ≥ 2, **giai thừa nguyên tố** (tiếng Anh: _primorial_) (ký hiệu _n_#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng _n_. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích
Giai thừa nguyên tố Giai thừa nguyên tố
Với _n_ ≥ 2, **giai thừa nguyên tố** (tiếng Anh: _primorial_) (ký hiệu _n_#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng _n_. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích
Định lý số nguyên tố Định lý số nguyên tố
Trong lý thuyết số, **định lý số nguyên tố** (**prime number theorem -** **PNT**, hay **định lý phân bố số nguyên tố**) mô tả sự phân bố tiệm cận của các số nguyên tố giữa
Định lý số nguyên tố Định lý số nguyên tố
Trong lý thuyết số, **định lý số nguyên tố** (**prime number theorem -** **PNT**, hay **định lý phân bố số nguyên tố**) mô tả sự phân bố tiệm cận của các số nguyên tố giữa
Số gần nguyên tố Số gần nguyên tố
nhỏ|Mô phỏng bằng với các que Cuisenaire, các tính chất của các số gần như nguyên tố bậc 2 của số 6 Trong lý thuyết số, một số tự nhiên được gọi là **số gần
Số gần nguyên tố Số gần nguyên tố
nhỏ|Mô phỏng bằng với các que Cuisenaire, các tính chất của các số gần như nguyên tố bậc 2 của số 6 Trong lý thuyết số, một số tự nhiên được gọi là **số gần
Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến
**Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến** (_The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences_), hay đơn giản là **Sloane's**, là cơ sở dữ liệu chuỗi số nguyên trực tuyến. Bảng được tạo ra và bảo
Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến
**Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến** (_The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences_), hay đơn giản là **Sloane's**, là cơ sở dữ liệu chuỗi số nguyên trực tuyến. Bảng được tạo ra và bảo
Số Skewes Số Skewes
Trong lý thuyết số, **số Skewes** là bất kỳ số lớn nào được nhà toán học Nam Phi Stanley Skewes đặt làm cận trên cho số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn : \pi(x) >
Số Skewes Số Skewes
Trong lý thuyết số, **số Skewes** là bất kỳ số lớn nào được nhà toán học Nam Phi Stanley Skewes đặt làm cận trên cho số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn : \pi(x) >
Hàm số học Hàm số học
Trong lý thuyết số, **hàm** **số học**, hoặc **hàm số lý thuyết số** đối với hầu hết các tác giả nói đến bất kỳ hàm _f_ (_n_) nào có miền là số nguyên dương và
Hàm số học Hàm số học
Trong lý thuyết số, **hàm** **số học**, hoặc **hàm số lý thuyết số** đối với hầu hết các tác giả nói đến bất kỳ hàm _f_ (_n_) nào có miền là số nguyên dương và
Số nguyên Số nguyên
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
Số nguyên Số nguyên
Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các
Định đề Bertrand Định đề Bertrand
**Định đề Bertrand** là một định lý phát biểu rằng với bất kỳ số nguyên n > 3, luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố p sao cho :n < p < 2n
Định đề Bertrand Định đề Bertrand
**Định đề Bertrand** là một định lý phát biểu rằng với bất kỳ số nguyên n > 3, luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố p sao cho :n < p < 2n
Giả thuyết Oppermann Giả thuyết Oppermann
**Giả thuyết Oppermann** là bài toán chưa giải trong toán học về sự phân phối của các số nguyên tố. Nó có quan hệ gần gũi nhưng mạnh hơn giả thuyết Legendre, giả thuyết Andrica,
Giả thuyết Oppermann Giả thuyết Oppermann
**Giả thuyết Oppermann** là bài toán chưa giải trong toán học về sự phân phối của các số nguyên tố. Nó có quan hệ gần gũi nhưng mạnh hơn giả thuyết Legendre, giả thuyết Andrica,
Hàm Von Mangoldt Hàm Von Mangoldt
Trong toán học, **hàm von Mangoldt** là hàm số học được theo tên nhà toán học Đức Hans von Mangoldt. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không nhân
Hàm Von Mangoldt Hàm Von Mangoldt
Trong toán học, **hàm von Mangoldt** là hàm số học được theo tên nhà toán học Đức Hans von Mangoldt. Nó là một trong những ví dụ quan trọng về hàm số học không nhân
Giả thuyết Elliott–Halberstam Giả thuyết Elliott–Halberstam
Trong lý thuyết số, **giả thuyết Elliott–Halberstam** là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố trong cấp số cộng. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết sàng. Nó được đặt
Giả thuyết Elliott–Halberstam Giả thuyết Elliott–Halberstam
Trong lý thuyết số, **giả thuyết Elliott–Halberstam** là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố trong cấp số cộng. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết sàng. Nó được đặt
Nguyên lý bao hàm-loại trừ Nguyên lý bao hàm-loại trừ
nhỏ|[[Biểu đồ Venn cho thấy hợp của _A_ và _B_]] Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, **nguyên lý bao hàm-loại trừ** (hay **nguyên lý bao hàm và loại trừ** hoặc **nguyên lý bù
Nguyên lý bao hàm-loại trừ Nguyên lý bao hàm-loại trừ
nhỏ|[[Biểu đồ Venn cho thấy hợp của _A_ và _B_]] Trong tổ hợp, một nhánh của toán học, **nguyên lý bao hàm-loại trừ** (hay **nguyên lý bao hàm và loại trừ** hoặc **nguyên lý bù
Số tự nhiên Số tự nhiên
phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....). Trong toán học, các **số tự nhiên** được sử dụng để đếm (như trong "có _sáu_ đồng xu trên
Số tự nhiên Số tự nhiên
phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....). Trong toán học, các **số tự nhiên** được sử dụng để đếm (như trong "có _sáu_ đồng xu trên
[HCM]Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Kem Đêm 18gr [HCM]Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Kem Đêm 18gr
Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Trắng Da, Mờ Nám, Tàn Nhang, Chống Lão Hóa Da-Kem ĐêmKem chống lão hóa MeraWhite sử dụng cho các chị em từ lứa tuổi 30 trở đi, khi mà
[HCM]Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Kem Đêm 18gr [HCM]Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Kem Đêm 18gr
Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Trắng Da, Mờ Nám, Tàn Nhang, Chống Lão Hóa Da-Kem ĐêmKem chống lão hóa MeraWhite sử dụng cho các chị em từ lứa tuổi 30 trở đi, khi mà
[HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr [HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr
Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Trắng Da, Mờ Nám, Tàn Nhang, Chống Lão Hóa Da-Ngày Và ĐêmKem chống lão hóa MeraWhite sử dụng cho các chị em từ lứa tuổi 30 trở đi,
[HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr [HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr
Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Trắng Da, Mờ Nám, Tàn Nhang, Chống Lão Hóa Da-Ngày Và ĐêmKem chống lão hóa MeraWhite sử dụng cho các chị em từ lứa tuổi 30 trở đi,
[HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr [HCM]Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Mờ Nám Tàn Nhang Chống Lão Hóa Da- Ngày và Đêm 18gr
Combo Kem Merawhite Chính Hãng 100% - Trắng Da, Mờ Nám, Tàn Nhang, Chống Lão Hóa Da-Ngày Và ĐêmKem chống lão hóa MeraWhite sử dụng cho các chị em từ lứa tuổi 30 trở đi,
Phân hoạch (lý thuyết số) Phân hoạch (lý thuyết số)
thumb|Các phần số _n_ với hạng lớn nhất _k_ Trong số học, sự **phân hoạch** một số nguyên dương _n_ là cách viết số đó dưới dạng tổng của các số nguyên dương. Hai cách
Phân hoạch (lý thuyết số) Phân hoạch (lý thuyết số)
thumb|Các phần số _n_ với hạng lớn nhất _k_ Trong số học, sự **phân hoạch** một số nguyên dương _n_ là cách viết số đó dưới dạng tổng của các số nguyên dương. Hai cách
Số Bell Số Bell
nhỏ|..... Trong toán học tổ hợp, **số Bell** đếm số phân hoạch của tập hợp. Các số này được nghiên cứu bởi các nhà toán học từ thế kỷ 19, và nguồn gốc bắt đầu
Số Bell Số Bell
nhỏ|..... Trong toán học tổ hợp, **số Bell** đếm số phân hoạch của tập hợp. Các số này được nghiên cứu bởi các nhà toán học từ thế kỷ 19, và nguồn gốc bắt đầu
Tổ Yến Nhặt Lông Tổ Yến Nhặt Lông
_ Tổ yến có tác dụng bổ phế: Yến Sào có nhiều tác dụng tuyệt vời đối với hệ hô hấp. Tổ yến giúp dưỡng âm, bổ phế, tiêu đàm, trừ ho và định suyễn.
Tổ Yến Nhặt Lông Tổ Yến Nhặt Lông
_ Tổ yến có tác dụng bổ phế: Yến Sào có nhiều tác dụng tuyệt vời đối với hệ hô hấp. Tổ yến giúp dưỡng âm, bổ phế, tiêu đàm, trừ ho và định suyễn.
Tổ Yến Nhặt Lông Tổ Yến Nhặt Lông
_ Tổ yến có tác dụng bổ phế: Yến Sào có nhiều tác dụng tuyệt vời đối với hệ hô hấp. Tổ yến giúp dưỡng âm, bổ phế, tiêu đàm, trừ ho và định suyễn.
Số Catalan Số Catalan
thumb|Tập hợp các cách nối điểm không cắt nhau (trên) và cắt nhau (dưới - 10 cách) trong tổng cộng 52 cách. Trong toán tổ hợp, **số Catalan** là dãy các số tự nhiên xuất